Математический анализ Примеры

$\int e^{- 3 t} d t$

Этап 1

Пусть $u = - 3 t$ . Тогда $d u = - 3 d t$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = - 3 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $- 3 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 3 t]$

Этап 1.1.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $t$ , производная $- 3 t$ по $t$ равна $- 3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Этап 2.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Этап 5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Этап 6

Упростим.

$- \frac{1}{3} e^{u} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $- 3 t$ .

$- \frac{1}{3} e^{- 3 t} + C$