Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{x + 2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 2}$ в виде ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 2)$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)$

Этап 1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)$

Этап 1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)$

Этап 1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)$

Этап 1.7.3

Перенесем ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)$

Этап 1.8

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (2))$

Этап 1.10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Этап 1.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 1.11.2

Умножим $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Этап 2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Этап 2.1.2.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 2.1.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{- \frac{1}{2}})$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 2.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 2.7.2

Объединим ${(x + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(x + 2)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 2.7.3

Перенесем ${(x + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 2.7.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 (2 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)$

Этап 2.7.5

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (2))$

Этап 2.10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Этап 2.11.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Поскольку $- \frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{4 {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ по $x$ равна $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ в виде ${({(x + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {({(x + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 2)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

Этап 3.1.2.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 2)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

Этап 3.1.2.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 2)}^{\frac{- 3}{2}}$

Этап 3.1.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 2)}^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 2$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 3.7.2

Объединим ${(x + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ и $\frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{{(x + 2)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 3.7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Перенесем $3$ влево от ${(x + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 \cdot {(x + 2)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 3.7.3.2

Перенесем ${(x + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 3.7.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot (\frac{3}{2 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 3.7.3.4

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot (\frac{3}{2 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 3.7.4

Умножим $\frac{3}{2 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}} \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)$

Этап 3.7.5

Умножим $4$ на $2$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)$

Этап 3.8

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (2))$

Этап 3.10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Этап 3.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 1$

Этап 3.11.2

Умножим $\frac{3}{8 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ на $1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Поскольку $\frac{3}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{8 {(x + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{5}{2}}})$

Этап 4.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ в виде ${({(x + 2)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 2)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1})$

Этап 4.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1})$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.2.1

Объединим $\frac{5}{2}$ и $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}})$

Этап 4.1.2.2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{- 5}{2}})$

Этап 4.1.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{- \frac{5}{2}})$

Этап 4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 2$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $- 5$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 4.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 4.7.2

Объединим ${(x + 2)}^{- \frac{7}{2}}$ и $\frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{{(x + 2)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 4.7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.3.1

Перенесем $5$ влево от ${(x + 2)}^{- \frac{7}{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 \cdot {(x + 2)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 4.7.3.2

Перенесем ${(x + 2)}^{- \frac{7}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2))$

Этап 4.7.4

Умножим $\frac{3}{8}$ на $\frac{5}{2 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3 \cdot 5}{8 (2 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)$

Этап 4.7.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.5.1

Умножим $3$ на $5$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{8 (2 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)$

Этап 4.7.5.2

Умножим $2$ на $8$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)$

Этап 4.8

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))$

Этап 4.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (2))$

Этап 4.10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Этап 4.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}}} \cdot 1$

Этап 4.11.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 2)}^{\frac{7}{2}}}$