Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $4$ и в $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.6

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 3.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 3.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16 - 2}{3}$

Этап 3.2.10

Вычтем $2$ из $16$ .

$\frac{14}{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{14}{3}$

Десятичная форма:

$4.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$4 \frac{2}{3}$

Этап 5