Математический анализ Примеры

$\sqrt{1 + x^{2}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в виде ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 7.3

Перенесем ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 8

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Этап 12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 12.2

Объединим $\frac{2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.5

Изменим порядок членов.

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$