Математический анализ Примеры

$x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}] + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = x^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 5$ .

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.3

Перенесем ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.4

Объединим $\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x$ .

$\frac{x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5] + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8

По правилу суммы производная $x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11.2

Объединим $2$ и $\frac{x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} x + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11.3

Объединим $\frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 15

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Этап 17

Умножим ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 18

Чтобы записать ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 19

Объединим ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 20

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21

Умножим ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Перенесем ${(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 5)}^{1} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 22

Упростим ${(x^{2} + 5)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{2 x^{2} + (x^{2} + 5) \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 23

Перенесем $3$ влево от $x^{2} + 5$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 \cdot (x^{2} + 5)}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 24

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot 5}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 24.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x^{2} + 15}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 24.2.2

Добавим $2 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} + 15}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 24.3

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2} + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.3.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 15}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 24.3.2

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 24.3.3

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2} + 5 \cdot 3$ .

$\frac{5 (x^{2} + 3)}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$