Математический анализ Примеры

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} + 1$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} + 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$(x^{2} + 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.4.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 1$ .

$2 \cdot (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x + 0)$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x)$

Этап 2.8.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 1$ .

$2 (x^{2} + 1) x + 2 \cdot (x^{2} - 1) x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x + 2 (x^{2} - 1) x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 (x^{2} - 1) x$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + (2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.5.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.5.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{3} + 2 x + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.5.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.5.7

Добавим $1$ и $2$ .

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.5.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3} - 2 x$

Этап 3.5.9

Добавим $2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$4 x^{3} + 2 x - 2 x$

Этап 3.5.10

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$4 x^{3} + 0$

Этап 3.5.11

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$4 x^{3}$