Математический анализ Примеры

$\tan^{2} (x^{4} + 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \tan (x^{4} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (x^{4} + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x^{4} + 1)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x^{4} + 1)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (x^{4} + 1)$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{4} + 1)]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{4} + 1$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Этап 2.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{4} + 1$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) (\sec^{2} (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (4 x^{3} + 0)$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (4 x^{3})$

Этап 3.4.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) x^{3}$

Этап 3.4.3

Изменим порядок множителей в $8 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) x^{3}$ .

$8 x^{3} \sec^{2} (x^{4} + 1) \tan (x^{4} + 1)$