Математический анализ Примеры

$\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 3.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.5

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 3.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 3.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 3.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 3.13

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Этап 3.14

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Этап 3.14.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Этап 3.14.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Этап 3.14.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Этап 3.14.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Этап 3.14.5.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Этап 3.14.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 3.15

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 3.16

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.17

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$