Математический анализ Примеры

$\frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение $\frac{\ln (x)}{x^{2}}$ не определено.

$x \leq 0$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{\ln (x)}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $0$ слева, а $\frac{\ln (x)}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $0$ справа, то $x = 0$ — вертикальная асимптота.

$x = 0$

Этап 1.3

Игнорируя логарифм, рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 1.4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 0$

$m = 2$

Этап 1.5

Поскольку $n < m$ , ось X, $y = 0$ , является горизонтальной асимптотой.

$y = 0$

Этап 1.6

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.7

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (1)}{{(1)}^{2}}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (1) = \frac{0}{1^{2}}$

Этап 2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{0}{1}$

Этап 2.2.3

Разделим $0$ на $1$ .

$f (1) = 0$

Этап 2.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Преобразуем $0$ в десятичное представление.

$y = 0$

Этап 3

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{{(2)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{4}$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{\ln (2)}{4}$ в виде $\frac{1}{4} \ln (2)$ .

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (2)$

Этап 3.2.3

Упростим $\frac{1}{4} \ln (2)$ путем переноса $\frac{1}{4}$ под логарифм.

$f (2) = \ln (2^{\frac{1}{4}})$

Этап 3.2.4

Окончательный ответ: $\ln (2^{\frac{1}{4}})$ .

$\ln (2^{\frac{1}{4}})$

Этап 3.3

Преобразуем $\ln (2^{\frac{1}{4}})$ в десятичное представление.

$y = 0.17328679$

Этап 4

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{{(3)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{9}$

Этап 4.2.2

Перепишем $\frac{\ln (3)}{9}$ в виде $\frac{1}{9} \ln (3)$ .

$f (3) = \frac{1}{9} \cdot \ln (3)$

Этап 4.2.3

Упростим $\frac{1}{9} \ln (3)$ путем переноса $\frac{1}{9}$ под логарифм.

$f (3) = \ln (3^{\frac{1}{9}})$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $\ln (3^{\frac{1}{9}})$ .

$\ln (3^{\frac{1}{9}})$

Этап 4.3

Преобразуем $\ln (3^{\frac{1}{9}})$ в десятичное представление.

$y = 0.12206803$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 0$ и точек $(1, 0), (2, 0.17328679), (3, 0.12206803)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.173 \\ 3 & 0.122 \end{array}$

Этап 6