Математический анализ Примеры

$\int \ln^{2} (t) d t$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln^{2} (t)$ и $d v = 1$ .

$\ln^{2} (t) t - \int t \frac{\ln (t^{2})}{t} d t$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $t$ и $\frac{\ln (t^{2})}{t}$ .

$\ln^{2} (t) t - \int \frac{t \ln (t^{2})}{t} d t$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln^{2} (t) t - \int \frac{t \ln (t^{2})}{t} d t$

Этап 2.2.2

Разделим $\ln (t^{2})$ на $1$ .

$\ln^{2} (t) t - \int \ln (t^{2}) d t$

Этап 3

Перепишем $\ln (t^{2})$ в виде $2 \ln (t)$ .

$\ln^{2} (t) t - \int 2 \ln (t) d t$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln^{2} (t) t - (2 \int \ln (t) d t)$

Этап 5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln^{2} (t) t - 2 \int \ln (t) d t$

Этап 6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (t)$ и $d v = 1$ .

$\ln^{2} (t) t - 2 (\ln (t) t - \int t \frac{1}{t} d t)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $t$ и $\frac{1}{t}$ .

$\ln^{2} (t) t - 2 (\ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t)$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln^{2} (t) t - 2 (\ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t)$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln^{2} (t) t - 2 (\ln (t) t - \int d t)$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln^{2} (t) t - 2 (\ln (t) t - (t + C))$

Этап 9

Перепишем $\ln^{2} (t) t - 2 (\ln (t) t - (t + C))$ в виде $\ln^{2} (t) t - 2 \ln (t) t + 2 t + C$ .

$\ln^{2} (t) t - 2 \ln (t) t + 2 t + C$