Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{45} \frac{1}{\sqrt{t + 4}} d t$

Этап 1

Пусть $u = t + 4$ . Тогда $d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = t + 4$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $t + 4$ .

$\frac{d}{d t} [t + 4]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $t + 4$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [4]$

Этап 1.1.4

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4$ относительно $t$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = t + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Этап 1.3

Добавим $0$ и $4$ .

$u_{lower} = 4$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = t + 4$ .

$u_{upper} = 45 + 4$

Этап 1.5

Добавим $45$ и $4$ .

$u_{upper} = 49$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 49$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{4}^{49} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{49} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{4}^{49} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{49} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int_{4}^{49} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{4}^{49} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{49}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $49$ и в $4$ .

$(2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 7^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2.4

Найдем экспоненту.

$2 \cdot 7 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2.5

Умножим $2$ на $7$ .

$14 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$14 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 4.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Сократим общий множитель.

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 4.2.8.2

Перепишем это выражение.

$14 - 2 \cdot 2^{1}$

Этап 4.2.9

Найдем экспоненту.

$14 - 2 \cdot 2$

Этап 4.2.10

Умножим $- 2$ на $2$ .

$14 - 4$

Этап 4.2.11

Вычтем $4$ из $14$ .

$10$

Этап 5