Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} 4 x^{5} - 5 x^{4} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} 4 x^{5} d x + \int_{0}^{1} - 5 x^{4} d x$

Этап 2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{0}^{1} x^{5} d x + \int_{0}^{1} - 5 x^{4} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$4 (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 5 x^{4} d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$4 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 5 x^{4} d x$

Этап 5

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) - 5 \int_{0}^{1} x^{4} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) - 5 (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) - 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{x^{6}}{6}$ в $1$ и в $0$ .

$4 ((\frac{1^{6}}{6}) - \frac{0^{6}}{6}) - 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5}$ в $1$ и в $0$ .

$4 (\frac{1^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$4 (\frac{1}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 7.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 (\frac{1}{6} - \frac{0}{6}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 7.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Вынесем множитель $6$ из $0$ .

$4 (\frac{1}{6} - \frac{6 (0)}{6}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 7.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$4 (\frac{1}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 7.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{1}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 7.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{1}{6} - \frac{0}{1}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 7.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$4 (\frac{1}{6} - 0) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 7.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4 (\frac{1}{6} + 0) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 7.2.3.5

Добавим $\frac{1}{6}$ и $0$ .

$4 (\frac{1}{6}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 7.2.3.6

Объединим $4$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{4}{6} - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 7.2.3.7

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (2)}{6} - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 7.2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 7.2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 7.2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 7.2.3.8

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 7.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - \frac{0}{5})$

Этап 7.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.10.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Этап 7.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - \frac{0}{1})$

Этап 7.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - 0)$

Этап 7.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} + 0)$

Этап 7.2.3.12

Добавим $\frac{1}{5}$ и $0$ .

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5})$

Этап 7.2.3.13

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{- 5}{5}$

Этап 7.2.3.14

Сократим общий множитель $- 5$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.14.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\frac{2}{3} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Этап 7.2.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.14.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{2}{3} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Этап 7.2.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} + \frac{- 1}{1}$

Этап 7.2.3.14.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2}{3} - 1$

Этап 7.2.3.15

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.2.3.16

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Этап 7.2.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}$

Этап 7.2.3.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.18.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2 - 3}{3}$

Этап 7.2.3.18.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{- 1}{3}$

Этап 7.2.3.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{3}$

Этап 9