Математический анализ Примеры

$\int {(12 x + 5)}^{2} d x$

Этап 1

Пусть $u = 12 x + 5$ . Тогда $d u = 12 d x$ , следовательно $\frac{1}{12} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 12 x + 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $12 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [12 x + 5]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $12 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $12$ на $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $12$ и $0$ .

$12$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{2} \frac{1}{12} d u$

Этап 2

Объединим $u^{2}$ и $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{u^{2}}{12} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{12}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{12}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{12} \int u^{2} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{1}{12} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ в виде $\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\frac{1}{12}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{12 \cdot 3} u^{3} + C$

Этап 5.2.2

Умножим $12$ на $3$ .

$\frac{1}{36} u^{3} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $12 x + 5$ .

$\frac{1}{36} {(12 x + 5)}^{3} + C$