Математический анализ Примеры

$\int \sin (\sqrt{x}) d x$

Этап 1

Пусть $u = \sqrt{x}$ . Тогда $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , следовательно $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

$\int 2 u \sin (u) d u$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int u \sin (u) d u$

Этап 3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u$ и $dv = \sin (u)$ .

$2 (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Этап 5.2

Умножим $\int \cos (u) d u$ на $1$ .

$2 (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Этап 6

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$2 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Этап 7

Перепишем $2 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ в виде $2 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$2 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $\sqrt{x}$ .

$2 (- \sqrt{x} \cos (\sqrt{x}) + \sin (\sqrt{x})) + C$