Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

Этап 1

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Этап 4

Перепишем $- u^{- 1} + C$ в виде $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{\ln (x)} + C$