Математический анализ Примеры

$3 x + 2 \sqrt{x} + \frac{32}{x^{2}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $3 x + 2 \sqrt{x} + \frac{32}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 3.10

Объединим $2$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 3.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 3.12

Сократим общий множитель.

$3 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 3.13

Перепишем это выражение.

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{32}{x^{2}}$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 4.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Этап 4.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Этап 4.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Этап 4.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Этап 4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Этап 4.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 x^{- 3})$

Этап 4.10

Умножим $- 2$ на $32$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 64 x^{- 3}$

Этап 5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим $- 64$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 64}{x^{3}}$

Этап 6.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{64}{x^{3}}$

Этап 6.2

Изменим порядок членов.

$- \frac{64}{x^{3}} + 3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$