Математический анализ Примеры

$\int_{4}^{9} \sqrt{x} d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $9$ и в $4$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.6

Умножим $2$ на $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.7

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.7.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.8

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.9

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 3.2.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Сократим общий множитель.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 3.2.10.2

Перепишем это выражение.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

Этап 3.2.11

Возведем $2$ в степень $3$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 8$

Этап 3.2.12

Умножим $8$ на $- 1$ .

$18 - 8 (\frac{2}{3})$

Этап 3.2.13

Объединим $- 8$ и $\frac{2}{3}$ .

$18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Этап 3.2.14

Умножим $- 8$ на $2$ .

$18 + \frac{- 16}{3}$

Этап 3.2.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$18 - \frac{16}{3}$

Этап 3.2.16

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

Этап 3.2.17

Объединим $18$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

Этап 3.2.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Этап 3.2.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.19.1

Умножим $18$ на $3$ .

$\frac{54 - 16}{3}$

Этап 3.2.19.2

Вычтем $16$ из $54$ .

$\frac{38}{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{38}{3}$

Десятичная форма:

$12.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$12 \frac{2}{3}$

Этап 5