Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} x \ln (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{x} d x)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Этап 4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x}{1} d x)$

Этап 4.2.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ в $2$ и в $1$ .

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

Этап 6.2

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $2$ и в $1$ .

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 6.3.2

Перенесем $4$ влево от $\ln (2)$ .

$\frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 6.3.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \ln (2)$ .

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 6.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 6.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 6.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 6.3.3.2.4

Разделим $2 \ln (2)$ на $1$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 6.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1) \cdot 1}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 6.3.5

Умножим $\ln (1)$ на $1$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 6.3.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 6.3.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 6.3.8

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 6.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 6.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 6.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 6.3.8.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 6.3.9

Единица в любой степени равна единице.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Этап 6.3.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2})$

Этап 6.3.11

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 6.3.12

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 6.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 6.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.14.1

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4 - 1}{2}$

Этап 6.3.14.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Этап 6.3.15

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{3}{2 \cdot 2}$

Этап 6.3.16

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{3}{4}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$2 \ln (2) - \frac{0}{2} - \frac{3}{4}$

Этап 7.1.2

Разделим $0$ на $2$ .

$2 \ln (2) - 0 - \frac{3}{4}$

Этап 7.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 \ln (2) + 0 - \frac{3}{4}$

Этап 7.2

Добавим $2 \ln (2)$ и $0$ .

$2 \ln (2) - \frac{3}{4}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 \ln (2) - \frac{3}{4}$

Десятичная форма:

$0.63629436 \dots$