Математический анализ Примеры

$y = x$ , $y = x^{2}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x = x^{2}$

Этап 1.2

Решим $x = x^{2}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x - x^{2} = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$u - u^{2} = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $u$ из $u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Этап 1.2.2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Этап 1.2.2.2.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$u (1 - u) = 0$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (1 - x) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = x^{2}$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 1.2.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (1 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = {(0)}^{2}$

Этап 1.3.2

Подставим $0$ вместо $x$ в $y = {(0)}^{2}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{2}$

Этап 1.3.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = {(1)}^{2}$

Этап 1.4.2

Подставим $1$ вместо $x$ в $y = {(1)}^{2}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 1^{2}$

Этап 1.4.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$y = 1$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{1} x d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{1} x - (x^{2}) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $x^{2}$ .

$\int_{0}^{1} x - x^{2} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Этап 3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 3.7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 3.7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.6

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 3.7.2.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 3.7.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 3.7.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 3.7.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 3.7.2.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0)$

Этап 3.7.2.3.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0)$

Этап 3.7.2.3.11

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

Этап 3.7.2.3.12

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 3.7.2.3.13

Чтобы записать $- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.7.2.3.14

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.14.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.7.2.3.14.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.7.2.3.14.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}$

Этап 3.7.2.3.14.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6}$

Этап 3.7.2.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - 2}{6}$

Этап 3.7.2.3.16

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1}{6}$

Этап 4