Математический анализ Примеры

\frac{x^{2}}{x - 1}

$\frac{x^{2}}{x - 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ и

g (x) = x - 1

$g (x) = x - 1$ .

\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 2

$n = 2$ .

\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Перенесем

2

$2$ влево от

x - 1

$x - 1$ .

\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная

x - 1

$x - 1$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку

- 1

$- 1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 1

$- 1$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим

1

$1$ и

0

$0$ .

\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перенесем

x

$x$ .

\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.1.1.2

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ .

\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим

2

$2$ на

- 1

$- 1$ .

\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Вычтем

x^{2}

$x^{2}$ из

2 x^{2}

$2 x^{2}$ .

\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель

x

$x$ из

x^{2} - 2 x

$x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель

x

$x$ из

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель

x

$x$ из

- 2 x

$- 2 x$ .

\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель

x

$x$ из

x \cdot x + x \cdot - 2

$x \cdot x + x \cdot - 2$ .

\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$