Математический анализ Примеры

$y = \frac{9 \sqrt{x}}{x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Этап 2

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}]$

Этап 3

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}]$

Этап 3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{1 - \frac{1}{2}}}]$

Этап 3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}]$

Этап 3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{\frac{2 - 1}{2}}}]$

Этап 3.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 4

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Этап 5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Этап 12

Объединим $x^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 13

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 9 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Этап 14

Объединим $- 9$ и $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 9 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Этап 15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 15.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$