Математический анализ Примеры

y = 16 \sqrt[4]{4 x^{4} + 4}

$y = 16 \sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$

Этап 1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt[4]{4 x^{4} + 4}

$\sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$ в виде

{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}

${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

y = 16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}

$y = 16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}})$

Этап 3

Производная

y

$y$ по

x

$x$ равна

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку

16

$16$ является константой относительно

x

$x$ , производная

16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}

$16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ по

x

$x$ равна

16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]

$16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$ .

16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]

$16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

f (x) = x^{\frac{1}{4}}

$f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ и

g (x) = 4 x^{4} + 4

$g (x) = 4 x^{4} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u

$u$ как

4 x^{4} + 4

$4 x^{4} + 4$ .

16 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ , где

n = \frac{1}{4}

$n = \frac{1}{4}$ .

16 (\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения

u

$u$ на

4 x^{4} + 4

$4 x^{4} + 4$ .

16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.3

Чтобы записать

- 1

$- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.4

Объединим

- 1

$- 1$ и

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

4

$4$ .

16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.6.2

Вычтем

4

$4$ из

1

$1$ .

16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.8

Объединим

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ и

{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}

${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ .

16 (\frac{{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.9

Перенесем

{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}

${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

16 (\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.10

Объединим

\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}

$\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ и

16

$16$ .

\frac{16}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]

$\frac{16}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Этап 4.11

Вынесем множитель

4

$4$ из

16

$16$ .

\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Этап 4.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}

$4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}$ .

\frac{4 \cdot 4}{4 ({(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}})} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]

$\frac{4 \cdot 4}{4 ({(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}})} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Этап 4.12.2

Сократим общий множитель.

\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Этап 4.12.3

Перепишем это выражение.

\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Этап 4.13

По правилу суммы производная

4 x^{4} + 4

$4 x^{4} + 4$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 4.14

Поскольку

4

$4$ является константой относительно

x

$x$ , производная

4 x^{4}

$4 x^{4}$ по

x

$x$ равна

4 \frac{d}{d x} [x^{4}]

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 4.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 4

$n = 4$ .

\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4])

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 4.16

Умножим

4

$4$ на

4

$4$ .

\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [4])

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 4.17

Поскольку

4

$4$ является константой относительно

x

$x$ , производная

4

$4$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + 0)

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + 0)$

Этап 4.18

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1

Добавим

16 x^{3}

$16 x^{3}$ и

0

$0$ .

\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3})

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3})$

Этап 4.18.2

Объединим

16

$16$ и

\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ .

\frac{16 \cdot 4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}

$\frac{16 \cdot 4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

Этап 4.18.3

Умножим

16

$16$ на

4

$4$ .

\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

Этап 4.18.4

Объединим

\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ и

x^{3}

$x^{3}$ .

\frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}

$\frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

\frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}

$\frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

\frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}

$\frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

y' = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}

$y' = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

Этап 6

Заменим

y'

$y'$ на

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ .

\frac{d y}{d x} = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$