Математический анализ Примеры

$\int (7 x^{2} - 5) (3 x^{3} + 4) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 7 x^{2} (3 x^{3} + 4) - 5 (3 x^{3} + 4) d x$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 7 x^{2} (3 x^{3}) + 7 x^{2} \cdot 4 - 5 (3 x^{3} + 4) d x$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 7 x^{2} (3 x^{3}) + 7 x^{2} \cdot 4 - 5 (3 x^{3}) - 5 \cdot 4 d x$

Этап 1.4

Перенесем $x^{2}$ .

$\int 7 \cdot 3 x^{2} x^{3} + 7 x^{2} \cdot 4 - 5 (3 x^{3}) - 5 \cdot 4 d x$

Этап 1.5

Перенесем $x^{2}$ .

$\int 7 \cdot 3 x^{2} x^{3} + 7 \cdot 4 x^{2} - 5 (3 x^{3}) - 5 \cdot 4 d x$

Этап 1.6

Умножим $7$ на $3$ .

$\int 21 x^{2} x^{3} + 7 \cdot 4 x^{2} - 5 \cdot 3 x^{3} - 5 \cdot 4 d x$

Этап 1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 21 x^{2 + 3} + 7 \cdot 4 x^{2} - 5 \cdot 3 x^{3} - 5 \cdot 4 d x$

Этап 1.8

Добавим $2$ и $3$ .

$\int 21 x^{5} + 7 \cdot 4 x^{2} - 5 \cdot 3 x^{3} - 5 \cdot 4 d x$

Этап 1.9

Умножим $7$ на $4$ .

$\int 21 x^{5} + 28 x^{2} - 5 \cdot 3 x^{3} - 5 \cdot 4 d x$

Этап 1.10

Умножим $- 5$ на $3$ .

$\int 21 x^{5} + 28 x^{2} - 15 x^{3} - 5 \cdot 4 d x$

Этап 1.11

Умножим $- 5$ на $4$ .

$\int 21 x^{5} + 28 x^{2} - 15 x^{3} - 20 d x$

Этап 1.12

Перенесем $28 x^{2}$ .

$\int 21 x^{5} - 15 x^{3} + 28 x^{2} - 20 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 21 x^{5} d x + \int - 15 x^{3} d x + \int 28 x^{2} d x + \int - 20 d x$

Этап 3

Поскольку $21$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $21$ из-под знака интеграла.

$21 \int x^{5} d x + \int - 15 x^{3} d x + \int 28 x^{2} d x + \int - 20 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$21 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 15 x^{3} d x + \int 28 x^{2} d x + \int - 20 d x$

Этап 5

Поскольку $- 15$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 15$ из-под знака интеграла.

$21 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 15 \int x^{3} d x + \int 28 x^{2} d x + \int - 20 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$21 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 15 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 28 x^{2} d x + \int - 20 d x$

Этап 7

Поскольку $28$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $28$ из-под знака интеграла.

$21 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 15 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 28 \int x^{2} d x + \int - 20 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$21 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 15 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 28 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 20 d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$21 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 15 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 28 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 20 x + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$21 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 15 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 28 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 20 x + C$

Этап 10.1.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$21 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 15 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 28 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 20 x + C$

Этап 10.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$21 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 15 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 28 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 20 x + C$

Этап 10.2

Упростим.

$\frac{7 x^{6}}{2} - \frac{15 x^{4}}{4} + \frac{28 x^{3}}{3} - 20 x + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$\frac{7}{2} x^{6} - \frac{15}{4} x^{4} + \frac{28}{3} x^{3} - 20 x + C$