Математический анализ Примеры

\int \frac{1}{e^{x}} d x

$\int \frac{1}{e^{x}} d x$

Этап 1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поменяем знак экспоненты

e^{x}

$e^{x}$ и вынесем ее из знаменателя.

\int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x

$\int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перемножим экспоненты в

{(e^{x})}^{- 1}

${(e^{x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\int 1 e^{x \cdot - 1} d x

$\int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.1.2

Перенесем

- 1

$- 1$ влево от

x

$x$ .

\int 1 e^{- 1 \cdot x} d x

$\int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Этап 1.2.1.3

Перепишем

- 1 x

$- 1 x$ в виде

- x

$- x$ .

\int 1 e^{- x} d x

$\int 1 e^{- x} d x$

\int 1 e^{- x} d x

$\int 1 e^{- x} d x$

Этап 1.2.2

Умножим

e^{- x}

$e^{- x}$ на

1

$1$ .

\int e^{- x} d x

$\int e^{- x} d x$

\int e^{- x} d x

$\int e^{- x} d x$

\int e^{- x} d x

$\int e^{- x} d x$

Этап 2

Пусть

u = - x

$u = - x$ . Тогда

d u = - d x

$d u = - d x$ , следовательно

- d u = d x

$- d u = d x$ . Перепишем, используя

u

$u$ и

d

$d$

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть

u = - x

$u = - x$ . Найдем

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем

- x

$- x$ .

\frac{d}{d x} [- x]

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.1.2

Поскольку

- 1

$- 1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- x

$- x$ по

x

$x$ равна

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

- 1 \cdot 1

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью

u

$u$ и

d u

$d u$ .

\int - e^{u} d u

$\int - e^{u} d u$

\int - e^{u} d u

$\int - e^{u} d u$

Этап 3

Поскольку

- 1

$- 1$ — константа по отношению к

u

$u$ , вынесем

- 1

$- 1$ из-под знака интеграла.

- \int e^{u} d u

$- \int e^{u} d u$

Этап 4

Интеграл

e^{u}

$e^{u}$ по

u

$u$ имеет вид

e^{u}

$e^{u}$ .

- (e^{u} + C)

$- (e^{u} + C)$

Этап 5

Упростим.

- e^{u} + C

$- e^{u} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения

u

$u$ на

- x

$- x$ .

- e^{- x} + C

$- e^{- x} + C$

\int_{}^{} \frac{1}{e^{x}}

$\int_{}^{} \frac{1}{e^{x}}$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





∫

∫













7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<





∞

∞





!

!



,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$