Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{e^{x}} d x$

Этап 1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Этап 1.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\int 1 e^{- x} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$\int e^{- x} d x$

Этап 2

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - e^{u} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int e^{u} d u$

Этап 4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C)$

Этап 5

Упростим.

$- e^{u} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$- e^{- x} + C$