Математический анализ Примеры

$\int p^{5} \ln (p) d p$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (p)$ и $d v = p^{5}$ .

$\ln (p) (\frac{1}{6} p^{6}) - \int \frac{1}{6} p^{6} \frac{1}{p} d p$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $p^{6}$ .

$\ln (p) \frac{p^{6}}{6} - \int \frac{1}{6} p^{6} \frac{1}{p} d p$

Этап 2.2

Объединим $\ln (p)$ и $\frac{p^{6}}{6}$ .

$\frac{\ln (p) p^{6}}{6} - \int \frac{1}{6} p^{6} \frac{1}{p} d p$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $p$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (p) p^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int p^{6} \frac{1}{p} d p)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $p^{6}$ и $\frac{1}{p}$ .

$\frac{\ln (p) p^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{p^{6}}{p} d p)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $p^{6}$ и $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $p$ из $p^{6}$ .

$\frac{\ln (p) p^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{p \cdot p^{5}}{p} d p)$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $p$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (p) p^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{p \cdot p^{5}}{p^{1}} d p)$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $p$ из $p^{1}$ .

$\frac{\ln (p) p^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{p \cdot p^{5}}{p \cdot 1} d p)$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (p) p^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{p \cdot p^{5}}{p \cdot 1} d p)$

Этап 4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (p) p^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{p^{5}}{1} d p)$

Этап 4.2.2.5

Разделим $p^{5}$ на $1$ .

$\frac{\ln (p) p^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int p^{5} d p)$

$\frac{\ln (p) p^{6}}{6} - \frac{1}{6} \int p^{5} d p$

Этап 5

По правилу степени интеграл $p^{5}$ по $p$ имеет вид $\frac{1}{6} p^{6}$ .

$\frac{\ln (p) p^{6}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} p^{6} + C)$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{\ln (p) p^{6}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} p^{6} + C)$ в виде $\frac{1}{6} \ln (p) p^{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} p^{6} + C$ .

$\frac{1}{6} \ln (p) p^{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} p^{6} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $\ln (p)$ .

$\frac{\ln (p)}{6} p^{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} p^{6} + C$

Этап 6.2.2

Объединим $\frac{\ln (p)}{6}$ и $p^{6}$ .

$\frac{\ln (p) p^{6}}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} p^{6} + C$

Этап 6.2.3

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\ln (p) p^{6}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} p^{6} + C$

Этап 6.2.4

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{\ln (p) p^{6}}{6} - \frac{1}{36} p^{6} + C$

$\frac{1}{6} \ln (p) p^{6} - \frac{1}{36} p^{6} + C$