Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{3^{2} - x^{2}} d x$

Этап 1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $x = 3 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 3 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $3 \cos (t)$ положительно.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим правило умножения к $3 \sin (t)$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.1.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.6

Перепишем $9 \cos^{2} (t)$ в виде ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Этап 3.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Этап 3.2.3

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Этап 3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos^{2} (t) d t$

Этап 4

Поскольку $9$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos^{2} (t) d t$

Этап 5

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (t)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{1}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t)$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{9}{2} (\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} d t + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

Этап 10

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 10.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 10.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 10.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 0.72972765$

Этап 10.3

Умножим $2$ на $- 0.72972765$ .

$u_{lower} = - 1.45945531$

Этап 10.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.3398369$

Этап 10.5

Умножим $2$ на $0.3398369$ .

$u_{upper} = 0.67967381$

Этап 10.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1.45945531$

$u_{upper} = 0.67967381$

Этап 10.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 11

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) d u)$

Этап 13

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

Этап 14

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем значение $t$ в $0.3398369$ и в $- 0.72972765$ .

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

Этап 14.2

Найдем значение $\sin (u)$ в $0.67967381$ и в $- 1.45945531$ .

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} ((\sin (0.67967381)) - \sin (- 1.45945531)))$

Этап 14.3

Добавим $0.3398369$ и $0.72972765$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} (\sin (0.67967381) - \sin (- 1.45945531)))$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} \sin (0.67967381) + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

Этап 15.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (0.67967381)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

Этап 15.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (- 1.45945531)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

Этап 15.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.4.1

Найдем значение $\sin (0.67967381)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{0.62853936}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

Этап 15.1.4.2

Разделим $0.62853936$ на $2$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

Этап 15.1.4.3

Найдем значение $\sin (- 1.45945531)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{- 0.99380799}{2})$

Этап 15.1.4.4

Разделим $- 0.99380799$ на $2$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - - 0.49690399)$

Этап 15.1.4.5

Умножим $- 1$ на $- 0.49690399$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 + 0.49690399)$

Этап 15.1.5

Добавим $0.31426968$ и $0.49690399$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.81117367)$

Этап 15.2

Добавим $1.06956456$ и $0.81117367$ .

$\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$

Этап 15.3

Умножим $\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Объединим $\frac{9}{2}$ и $1.88073824$ .

$\frac{9 \cdot 1.88073824}{2}$

Этап 15.3.2

Умножим $9$ на $1.88073824$ .

$\frac{16.92664417}{2}$

Этап 15.4

Разделим $16.92664417$ на $2$ .

$8.46332208$

Этап 16