Математический анализ Примеры

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Этап 1

Запишем

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ в виде функции.

f (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}

$f (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ и

g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}

$g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u

$u$ как

1 - 20 x + 5 x^{2}

$1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ , где

a

$a$ =

e

$e$ .

e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения

u

$u$ на

1 - 20 x + 5 x^{2}

$1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная

1 - 20 x + 5 x^{2}

$1 - 20 x + 5 x^{2}$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Этап 2.2.2

Поскольку

1

$1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

1

$1$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Этап 2.2.3

Добавим

0

$0$ и

\frac{d}{d x} [- 20 x]

$\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Этап 2.2.4

Поскольку

- 20

$- 20$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 20 x

$- 20 x$ по

x

$x$ равна

- 20 \frac{d}{d x} [x]

$- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Этап 2.2.6

Умножим

- 20

$- 20$ на

1

$1$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Этап 2.2.7

Поскольку

5

$5$ является константой относительно

x

$x$ , производная

5 x^{2}

$5 x^{2}$ по

x

$x$ равна

5 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 2

$n = 2$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))$

Этап 2.2.9

Умножим

2

$2$ на

5

$5$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где

f (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}

$f (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ и

g (x) = - 20 + 10 x

$g (x) = - 20 + 10 x$ .

f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 20 + 10 x) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 20 + 10 x) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная

- 20 + 10 x

$- 20 + 10 x$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [- 20] + \frac{d}{d x} [10 x]

$\frac{d}{d x} [- 20] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (- 20) + \frac{d}{d x} (10 x)) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (- 20) + \frac{d}{d x} (10 x)) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Этап 3.2.2

Поскольку

- 20

$- 20$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 20

$- 20$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (10 x)) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (10 x)) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Этап 3.2.3

Добавим

0

$0$ и

\frac{d}{d x} [10 x]

$\frac{d}{d x} [10 x]$ .

f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (10 x) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (10 x) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Этап 3.2.4

Поскольку

10

$10$ является константой относительно

x

$x$ , производная

10 x

$10 x$ по

x

$x$ равна

10 \frac{d}{d x} [x]

$10 \frac{d}{d x} [x]$ .

f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (10 \frac{d}{d x} (x)) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (10 \frac{d}{d x} (x)) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (10 \cdot 1) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (10 \cdot 1) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Этап 3.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим

10

$10$ на

1

$1$ .

f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \cdot 10 + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \cdot 10 + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Этап 3.2.6.2

Перенесем

10

$10$ влево от

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ .

f'' (x) = 10 \cdot e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})

$f'' (x) = 10 \cdot e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

f'' (x) = 10 \cdot e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})

$f'' (x) = 10 \cdot e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

f'' (x) = 10 \cdot e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})

$f'' (x) = 10 \cdot e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Этап 3.3

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ и

g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}

$g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u

$u$ как

1 - 20 x + 5 x^{2}

$1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2}))

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2}))$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ , где

a

$a$ =

e

$e$ .

f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (e^{u} \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2}))

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (e^{u} \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2}))$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения

u

$u$ на

1 - 20 x + 5 x^{2}

$1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2}))

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2}))$

f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2}))

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2}))$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная

1 - 20 x + 5 x^{2}

$1 - 20 x + 5 x^{2}$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Этап 3.4.2

Поскольку

1

$1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

1

$1$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Этап 3.4.3

Добавим

0

$0$ и

\frac{d}{d x} [- 20 x]

$\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Этап 3.4.4

Поскольку

- 20

$- 20$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 20 x

$- 20 x$ по

x

$x$ равна

- 20 \frac{d}{d x} [x]

$- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Этап 3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Этап 3.4.6

Умножим

- 20

$- 20$ на

1

$1$ .

f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Этап 3.4.7

Поскольку

5

$5$ является константой относительно

x

$x$ , производная

5 x^{2}

$5 x^{2}$ по

x

$x$ равна

5 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} (x^{2}))

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 3.4.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 2

$n = 2$ .

f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))$

Этап 3.4.9

Умножим

2

$2$ на

5

$5$ .

f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

Этап 3.5

Возведем

- 20 + 10 x

$- 20 + 10 x$ в степень

1

$1$ .

f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Этап 3.6

Возведем

- 20 + 10 x

$- 20 + 10 x$ в степень

1

$1$ .

f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Этап 3.7

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + {(- 20 + 10 x)}^{1 + 1} e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + {(- 20 + 10 x)}^{1 + 1} e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Этап 3.8

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + {(- 20 + 10 x)}^{2} e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + {(- 20 + 10 x)}^{2} e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Этап 3.9

Изменим порядок членов.

f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} {(- 20 + 10 x)}^{2} + 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} {(- 20 + 10 x)}^{2} + 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} {(- 20 + 10 x)}^{2} + 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} {(- 20 + 10 x)}^{2} + 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к

0

$0$ и решим полученное уравнение.

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ и

g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}

$g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u

$u$ как

1 - 20 x + 5 x^{2}

$1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Этап 5.1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ , где

a

$a$ =

e

$e$ .

e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Этап 5.1.1.3

Заменим все вхождения

u

$u$ на

1 - 20 x + 5 x^{2}

$1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

По правилу суммы производная

1 - 20 x + 5 x^{2}

$1 - 20 x + 5 x^{2}$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Этап 5.1.2.2

Поскольку

1

$1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

1

$1$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Этап 5.1.2.3

Добавим

0

$0$ и

\frac{d}{d x} [- 20 x]

$\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Этап 5.1.2.4

Поскольку

- 20

$- 20$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 20 x

$- 20 x$ по

x

$x$ равна

- 20 \frac{d}{d x} [x]

$- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Этап 5.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Этап 5.1.2.6

Умножим

- 20

$- 20$ на

1

$1$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Этап 5.1.2.7

Поскольку

5

$5$ является константой относительно

x

$x$ , производная

5 x^{2}

$5 x^{2}$ по

x

$x$ равна

5 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 2

$n = 2$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))$

Этап 5.1.2.9

Умножим

2

$2$ на

5

$5$ .

f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

Этап 5.2

Первая производная

f (x)

$f (x)$ по

x

$x$ равна

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

Этап 6

Приравняем первую производную к

0

$0$ , затем найдем решение уравнения

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна

0

$0$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$

Этап 6.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

- 20 + 10 x = 0

$- 20 + 10 x = 0$

Этап 6.3

Приравняем

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ к

0

$0$ .

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

Этап 6.3.2

Решим

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$ относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

ln (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}) = ln (0)

$\ln (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}) = \ln (0)$

Этап 6.3.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение

ln (0)

$\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 6.3.2.3

Нет решения для

e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

Нет решения

Этап 6.4

Приравняем

- 20 + 10 x

$- 20 + 10 x$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем

- 20 + 10 x

$- 20 + 10 x$ к

0

$0$ .

- 20 + 10 x = 0

$- 20 + 10 x = 0$

Этап 6.4.2

Решим

- 20 + 10 x = 0

$- 20 + 10 x = 0$ относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Добавим

20

$20$ к обеим частям уравнения.

10 x = 20

$10 x = 20$

Этап 6.4.2.2

Разделим каждый член

10 x = 20

$10 x = 20$ на

10

$10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Разделим каждый член

10 x = 20

$10 x = 20$ на

10

$10$ .

\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

Этап 6.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель

10

$10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

Этап 6.4.2.2.2.1.2

Разделим

$x$ на

$1$ .

$x = \frac{20}{10}$

Этап 6.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.3.1

Разделим

$20$ на

$10$ .

$x = 2$

Этап 6.5

Окончательным решением являются все значения, при которых

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ верно.

$x = 2$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2$

Этап 9

Найдем вторую производную в

$x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Умножим

$- 20$ на

$2$ .

$e^{1 - 40 + 5 {(2)}^{2}} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Этап 10.1.1.2

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$e^{1 - 40 + 5 \cdot 4} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Этап 10.1.1.3

Умножим

$5$ на

$4$ .

$e^{1 - 40 + 20} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Этап 10.1.2

Вычтем

$40$ из

$1$ .

$e^{- 39 + 20} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Этап 10.1.3

Добавим

$- 39$ и

$20$ .

$e^{- 19} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Этап 10.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{19}} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Этап 10.1.5

Умножим

$10$ на

$2$ .

$\frac{1}{e^{19}} {(- 20 + 20)}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Этап 10.1.6

Добавим

$- 20$ и

$20$ .

$\frac{1}{e^{19}} \cdot 0^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Этап 10.1.7

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$\frac{1}{e^{19}} \cdot 0 + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Этап 10.1.8

Умножим

$\frac{1}{e^{19}}$ на

$0$ .

$0 + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Этап 10.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.9.1

Умножим

$- 20$ на

$2$ .

$0 + 10 e^{1 - 40 + 5 {(2)}^{2}}$

Этап 10.1.9.2

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$0 + 10 e^{1 - 40 + 5 \cdot 4}$

Этап 10.1.9.3

Умножим

$5$ на

$4$ .

$0 + 10 e^{1 - 40 + 20}$

Этап 10.1.10

Вычтем

$40$ из

$1$ .

$0 + 10 e^{- 39 + 20}$

Этап 10.1.11

Добавим

$- 39$ и

$20$ .

$0 + 10 e^{- 19}$

Этап 10.1.12

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 10 \frac{1}{e^{19}}$

Этап 10.1.13

Объединим

$10$ и

$\frac{1}{e^{19}}$ .

$0 + \frac{10}{e^{19}}$

Этап 10.2

Добавим

$0$ и

$\frac{10}{e^{19}}$ .

$\frac{10}{e^{19}}$

Этап 11

$x = 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если

$x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$2$ .

$f (2) = e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим

$- 20$ на

$2$ .

$f (2) = e^{1 - 40 + 5 {(2)}^{2}}$

Этап 12.2.1.2

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$f (2) = e^{1 - 40 + 5 \cdot 4}$

Этап 12.2.1.3

Умножим

$5$ на

$4$ .

$f (2) = e^{1 - 40 + 20}$

Этап 12.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Вычтем

$40$ из

$1$ .

$f (2) = e^{- 39 + 20}$

Этап 12.2.2.2

Добавим

$- 39$ и

$20$ .

$f (2) = e^{- 19}$

Этап 12.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{19}}$

Этап 12.2.4

Окончательный ответ:

$\frac{1}{e^{19}}$ .

$y = \frac{1}{e^{19}}$

Этап 13

Это локальные экстремумы

$f (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ .

$(2, \frac{1}{e^{19}})$ — локальный минимум

Этап 14