Математический анализ Примеры

\int x^{3} \ln (x) d x

$\int x^{3} \ln (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , где

u = \ln (x)

$u = \ln (x)$ и

d v = x^{3}

$d v = x^{3}$ .

\ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x

$\ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ и

x^{4}

$x^{4}$ .

\ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x

$\ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Объединим

\ln (x)

$\ln (x)$ и

\frac{x^{4}}{4}

$\frac{x^{4}}{4}$ .

\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Поскольку

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ — константа по отношению к

x

$x$ , вынесем

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим

x^{4}

$x^{4}$ и

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель

x^{4}

$x^{4}$ и

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель

x

$x$ из

x^{4}

$x^{4}$ .

\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем

x

$x$ в степень

1

$1$ .

\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель

x

$x$ из

x^{1}

$x^{1}$ .

\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель.

\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Этап 4.2.2.4

Перепишем это выражение.

\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)$

Этап 4.2.2.5

Разделим

x^{3}

$x^{3}$ на

1

$1$ .

\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл

x^{3}

$x^{3}$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{1}{4} x^{4}

$\frac{1}{4} x^{4}$ .

\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем

\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ в виде

\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C

$\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C

$\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ и

\ln (x)

$\ln (x)$ .

\frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C

$\frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Этап 6.2.2

Объединим

\frac{\ln (x)}{4}

$\frac{\ln (x)}{4}$ и

x^{4}

$x^{4}$ .

\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Этап 6.2.3

Умножим

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ на

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C$

Этап 6.2.4

Умножим

4

$4$ на

4

$4$ .

\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C

$\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C

$\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$