Математический анализ Примеры

$\int x e^{- 4 x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- 4 x}$ .

$x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $e^{- 4 x}$ и $\frac{1}{4}$ .

$x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Этап 3

Поскольку $- \frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - (- \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 (\frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x$

Этап 5

Пусть $u = - 4 x$ . Тогда $d u = - 4 d x$ , следовательно $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = - 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Этап 6.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u$

Этап 9.2

Умножим $4$ на $4$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u$

Этап 10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$ в виде $- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

Этап 11.2.2

Объединим $e^{- 4 x}$ и $\frac{x}{4}$ .

$- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $- 4 x$ .

$- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + C$

Этап 13

Объединим $e^{- 4 x}$ и $\frac{1}{16}$ .

$- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{4} e^{- 4 x} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + C$