Математический анализ Примеры

$\int x e^{4 x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{4 x}$ .

$x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x)$

Этап 4

Пусть $u = 4 x$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Этап 5

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u$

Этап 7.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$

Этап 9

Перепишем $\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$ в виде $\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$ .

$\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x} + C$