Математический анализ Примеры

\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Этап 1

Пусть

u = 1 - x^{2}

$u = 1 - x^{2}$ . Тогда

d u = - 2 x d x

$d u = - 2 x d x$ , следовательно

- \frac{1}{2} d u = x d x

$- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя

u

$u$ и

d

$d$

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть

u = 1 - x^{2}

$u = 1 - x^{2}$ . Найдем

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем

1 - x^{2}

$1 - x^{2}$ .

\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная

1 - x^{2}

$1 - x^{2}$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку

1

$1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

1

$1$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение

\frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку

- 1

$- 1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- x^{2}

$- x^{2}$ по

x

$x$ равна

- \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 2

$n = 2$ .

0 - (2 x)

$0 - (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим

2

$2$ на

- 1

$- 1$ .

0 - 2 x

$0 - 2 x$

0 - 2 x

$0 - 2 x$

Этап 1.1.4

Вычтем

2 x

$2 x$ из

0

$0$ .

- 2 x

$- 2 x$

- 2 x

$- 2 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью

u

$u$ и

d u

$d u$ .

\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

\int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 2.2

Умножим

\frac{1}{\sqrt{u}}

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ на

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u

$\int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Этап 2.3

Перенесем

2

$2$ влево от

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ .

\int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u

$\int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

\int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u

$\int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 3

Поскольку

- 1

$- 1$ — константа по отношению к

u

$u$ , вынесем

- 1

$- 1$ из-под знака интеграла.

- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u

$- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 4

Поскольку

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ — константа по отношению к

u

$u$ , вынесем

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ в виде

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ .

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 5.2

Вынесем

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в

- 1

$- 1$ степень.

- \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u

$- \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в

{(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

- \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 5.3.2

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

- 1

$- 1$ .

- \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u

$- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u

$- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u

$- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл

u^{- \frac{1}{2}}

$u^{- \frac{1}{2}}$ по

u

$u$ имеет вид

2 u^{\frac{1}{2}}

$2 u^{\frac{1}{2}}$ .

- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем

- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде

- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C

$- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C

$- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим

2

$2$ на

- 1

$- 1$ .

- 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C

$- 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2.2

Объединим

- 2

$- 2$ и

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C

$\frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель

- 2

$- 2$ и

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

- 2

$- 2$ .

\frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C

$\frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2

$2$ .

\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

\frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C

$\frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2.4

Разделим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

- u^{\frac{1}{2}} + C

$- u^{\frac{1}{2}} + C$

- u^{\frac{1}{2}} + C

$- u^{\frac{1}{2}} + C$

- u^{\frac{1}{2}} + C

$- u^{\frac{1}{2}} + C$

- u^{\frac{1}{2}} + C

$- u^{\frac{1}{2}} + C$

- u^{\frac{1}{2}} + C

$- u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения

u

$u$ на

1 - x^{2}

$1 - x^{2}$ .

- {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C

$- {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$