Математический анализ Примеры

$y = x$ , $y = 3 \sqrt{x}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x = 3 \sqrt{x}$

Этап 1.2

Решим $x = 3 \sqrt{x}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$3 \sqrt{x} = x$

Этап 1.2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(3 \sqrt{x})}^{2} = x^{2}$

Этап 1.2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Упростим ${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$9 x^{1} = x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.4

Упростим.

$9 x = x^{2}$

Этап 1.2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$9 x - x^{2} = 0$

Этап 1.2.4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$9 u - u^{2} = 0$

Этап 1.2.4.2.2

Вынесем множитель $u$ из $9 u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $u$ из $9 u$ .

$u \cdot 9 - u^{2} = 0$

Этап 1.2.4.2.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u \cdot 9 + u (- u) = 0$

Этап 1.2.4.2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 9 + u (- u)$ .

$u (9 - u) = 0$

Этап 1.2.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (9 - x) = 0$

Этап 1.2.4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$9 - x = 0 + y = 3 \sqrt{x}$

Этап 1.2.4.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4.5

Приравняем $9 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1

Приравняем $9 - x$ к $0$ .

$9 - x = 0$

Этап 1.2.4.5.2

Решим $9 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 9$

Этап 1.2.4.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 9$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 9$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 1.2.4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 1.2.4.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 1.2.4.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.2.2.3.1

Разделим $- 9$ на $- 1$ .

$x = 9$

Этап 1.2.4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (9 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 9$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 3 \sqrt{0}$

Этап 1.3.2

Упростим $3 \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 3 \sqrt{0}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$y = 3 \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.3.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 3 \cdot 0$

Этап 1.3.2.4

Умножим $3$ на $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $9$ вместо $x$ .

$y = 3 \sqrt{9}$

Этап 1.4.2

Упростим $3 \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 3 \sqrt{9}$

Этап 1.4.2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = 3 \sqrt{3^{2}}$

Этап 1.4.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 3 \cdot 3$

Этап 1.4.2.4

Умножим $3$ на $3$ .

$y = 9$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(9, 9)$

$(0, 0)$

$(9, 9)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} d x - \int_{0}^{9} x d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} - (x) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $x$ .

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} - x d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

Этап 3.4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{0}^{9} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

Этап 3.5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{0}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} - x d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} - x d x$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - \int_{0}^{9} x d x$

Этап 3.9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9})$

Этап 3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9})$

Этап 3.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Найдем значение $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $9$ и в $0$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9})$

Этап 3.10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $9$ и в $0$ .

$3 (\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.5

Умножим $2$ на $27$ .

$3 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.6

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.6.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.7

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.8

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.9.1

Сократим общий множитель.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.9.2

Перепишем это выражение.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.11

Умножим $2$ на $0$ .

$3 (18 - \frac{0}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.12

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.12.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$3 (18 - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 (18 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (18 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (18 - \frac{0}{1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$3 (18 - 0) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 (18 + 0) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.14

Добавим $18$ и $0$ .

$3 \cdot 18 - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.15

Умножим $3$ на $18$ .

$54 - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.16

Возведем $9$ в степень $2$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.17

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 3.10.2.3.18

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.18.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 3.10.2.3.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 3.10.2.3.18.2.2

Сократим общий множитель.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 3.10.2.3.18.2.3

Перепишем это выражение.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 3.10.2.3.18.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$54 - (\frac{81}{2} - 0)$

Этап 3.10.2.3.19

Умножим $- 1$ на $0$ .

$54 - (\frac{81}{2} + 0)$

Этап 3.10.2.3.20

Добавим $\frac{81}{2}$ и $0$ .

$54 - \frac{81}{2}$

Этап 3.10.2.3.21

Чтобы записать $54$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$54 \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2}$

Этап 3.10.2.3.22

Объединим $54$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{54 \cdot 2}{2} - \frac{81}{2}$

Этап 3.10.2.3.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{54 \cdot 2 - 81}{2}$

Этап 3.10.2.3.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.24.1

Умножим $54$ на $2$ .

$\frac{108 - 81}{2}$

Этап 3.10.2.3.24.2

Вычтем $81$ из $108$ .

$\frac{27}{2}$

Этап 4