Математический анализ Примеры

$\int x^{2} \sin (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

Этап 2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

Этап 3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

Этап 4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Этап 6

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ в виде $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ .

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

Этап 7.2.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$