Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{27} \sqrt{3 x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Этап 1.3

Умножим $3$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 27$

Этап 1.5

Умножим $3$ на $27$ .

$u_{upper} = 81$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 81$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{81} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{81} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{81} \sqrt{u} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{0}^{81} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{81}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $81$ и в $0$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 81^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(9^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.4

Возведем $9$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 729 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $729$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 729}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.6

Умножим $2$ на $729$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1458}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7

Сократим общий множитель $1458$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Вынесем множитель $3$ из $1458$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (\frac{486}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7.2.4

Разделим $486$ на $1$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.8

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.9

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 6.2.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 6.2.10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 6.2.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Этап 6.2.12

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} (486 + 0 (\frac{2}{3}))$

Этап 6.2.13

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (486 + 0)$

Этап 6.2.14

Добавим $486$ и $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 486$

Этап 6.2.15

Объединим $\frac{1}{3}$ и $486$ .

$\frac{486}{3}$

Этап 6.2.16

Сократим общий множитель $486$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.16.1

Вынесем множитель $3$ из $486$ .

$\frac{3 \cdot 162}{3}$

Этап 6.2.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.16.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 162}{3 (1)}$

Этап 6.2.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 162}{3 \cdot 1}$

Этап 6.2.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{162}{1}$

Этап 6.2.16.2.4

Разделим $162$ на $1$ .

$162$

Этап 7