Математический анализ Примеры

$\int (9 - 2017 x^{2} \cdot 16 + 6 \sqrt[5]{x} + 12 e^{4 x} - \frac{5}{x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 9 - 2017 x^{2} \cdot 16 + 6 \sqrt[5]{x} + 12 e^{4 x} - \frac{5}{x} d x$

Этап 2

Умножим $16$ на $- 2017$ .

$\int 9 - 32272 x^{2} + 6 \sqrt[5]{x} + 12 e^{4 x} - \frac{5}{x} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 9 d x + \int - 32272 x^{2} d x + \int 6 \sqrt[5]{x} d x + \int 12 e^{4 x} d x + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$9 x + C + \int - 32272 x^{2} d x + \int 6 \sqrt[5]{x} d x + \int 12 e^{4 x} d x + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 5

Поскольку $- 32272$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 32272$ из-под знака интеграла.

$9 x + C - 32272 \int x^{2} d x + \int 6 \sqrt[5]{x} d x + \int 12 e^{4 x} d x + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$9 x + C - 32272 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 6 \sqrt[5]{x} d x + \int 12 e^{4 x} d x + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 7

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$9 x + C - 32272 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 \int \sqrt[5]{x} d x + \int 12 e^{4 x} d x + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 8

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{5}}$ .

$9 x + C - 32272 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 \int x^{\frac{1}{5}} d x + \int 12 e^{4 x} d x + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}}$ .

$9 x + C - 32272 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 (\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C) + \int 12 e^{4 x} d x + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 10

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$9 x + C - 32272 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 (\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C) + 12 \int e^{4 x} d x + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 11

Пусть $u = 4 x$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u = 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 11.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 11.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$9 x + C - 32272 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 (\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C) + 12 \int e^{u} \frac{1}{4} d u + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$9 x + C - 32272 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 (\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C) + 12 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u) + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$9 x + C - 32272 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 6 (\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C) + 12 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u) + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 13.2

Объединим $\frac{5}{6}$ и $x^{\frac{6}{5}}$ .

$9 x + C - 32272 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 6 (\frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6} + C) + 12 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u) + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 14

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$9 x + C - 32272 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 6 (\frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6} + C) + 12 (\frac{1}{4} (e^{u} + C)) + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $12$ .

$9 x + C - 32272 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 6 (\frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6} + C) + \frac{12}{4} (e^{u} + C) + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 15.2

Сократим общий множитель $12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$9 x + C - 32272 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 6 (\frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6} + C) + \frac{4 \cdot 3}{4} (e^{u} + C) + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 15.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$9 x + C - 32272 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 6 (\frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6} + C) + \frac{4 \cdot 3}{4 (1)} (e^{u} + C) + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 15.2.2.2

Сократим общий множитель.

$9 x + C - 32272 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 6 (\frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6} + C) + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} (e^{u} + C) + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 15.2.2.3

Перепишем это выражение.

$9 x + C - 32272 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 6 (\frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6} + C) + \frac{3}{1} (e^{u} + C) + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 15.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$9 x + C - 32272 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 6 (\frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6} + C) + 3 (e^{u} + C) + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 16

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$9 x + C - 32272 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 6 (\frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6} + C) + 3 (e^{u} + C) - \int \frac{5}{x} d x$

Этап 17

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$9 x + C - 32272 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 6 (\frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6} + C) + 3 (e^{u} + C) - (5 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 18

Умножим $5$ на $- 1$ .

$9 x + C - 32272 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 6 (\frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6} + C) + 3 (e^{u} + C) - 5 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 19

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$9 x + C - 32272 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 6 (\frac{5 x^{\frac{6}{5}}}{6} + C) + 3 (e^{u} + C) - 5 (\ln (| x |) + C)$

Этап 20

Упростим.

$9 x - \frac{32272 x^{3}}{3} + 5 x^{\frac{6}{5}} + 3 e^{u} - 5 \ln (| x |) + C$

Этап 21

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$9 x - \frac{32272 x^{3}}{3} + 5 x^{\frac{6}{5}} + 3 e^{4 x} - 5 \ln (| x |) + C$

Этап 22

Изменим порядок членов.

$9 x - \frac{32272}{3} x^{3} + 5 x^{\frac{6}{5}} + 3 e^{4 x} - 5 \ln (| x |) + C$