Математический анализ Примеры

$y = \sin (x y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x y))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Этап 3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$\cos (x y) (x y' + y)$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Этап 3.6.2

Изменим порядок членов.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ .

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

Этап 5.2

Вычтем $x y' \cos (x y)$ из обеих частей уравнения.

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' - x y' \cos (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- x y' \cos (x y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ на $1 - x \cos (x y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ на $1 - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $1 - x \cos (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$