Математический анализ Примеры

$\int x^{2} \cos (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} \sin (x) - \int \sin (x) (2 x) d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$x^{2} \sin (x) - (2 \int \sin (x) (x) d x)$

Этап 3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} \sin (x) - 2 \int \sin (x) (x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Этап 6.2

Умножим $\int \cos (x) d x$ на $1$ .

$x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Этап 7

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$

Этап 8

Перепишем $x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$ в виде $x^{2} \sin (x) - 2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

$x^{2} \sin (x) - 2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$