Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} x \sin (x^{2}) d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2}$ .

$u_{lower} = 1^{2}$

Этап 1.3

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2}$ .

$u_{upper} = 2^{2}$

Этап 1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{4} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \sin (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{1}^{4}$

Этап 5

Найдем значение $- \cos (u)$ в $4$ и в $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (4) + \cos (1))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Найдем значение $\cos (4)$ .

$\frac{1}{2} (- - 0.65364362 + \cos (1))$

Этап 6.1.2

Умножим $- 1$ на $- 0.65364362$ .

$\frac{1}{2} (0.65364362 + \cos (1))$

Этап 6.1.3

Найдем значение $\cos (1)$ .

$\frac{1}{2} (0.65364362 + 0.5403023)$

Этап 6.2

Добавим $0.65364362$ и $0.5403023$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1.19394592$

Этап 6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $1.19394592$ .

$\frac{1.19394592}{2}$

Этап 6.4

Разделим $1.19394592$ на $2$ .

$0.59697296$