Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{x - 8}{x^{2} - 7 x + 10} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим $x^{2} - 7 x + 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $10$ , а сумма — $- 7$ .

$- 5, - 2$

Этап 1.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x - 8}{(x - 5) (x - 2)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 5}$

Этап 1.1.3

$\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x - 2}$

Этап 1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 5) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 8) (x - 5) (x - 2)}{(x - 5) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 5) (x - 2)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 8) (x - 5) (x - 2)}{(x - 5) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 5) (x - 2)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 5) (x - 2)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.1.6

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 5) (x - 2)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.1.6.2

Разделим $x - 8$ на $1$ .

$x - 8 = \frac{(A) (x - 5) (x - 2)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$x - 8 = \frac{A (x - 5) (x - 2)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.1.7.1.2

Разделим $(A) (x - 2)$ на $1$ .

$x - 8 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 8 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.1.7.3

Перенесем $- 2$ влево от $A$ .

$x - 8 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.1.7.4

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$x - 8 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.1.7.4.2

Разделим $(B) (x - 5)$ на $1$ .

$x - 8 = A x - 2 A + (B) (x - 5)$

Этап 1.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 8 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 5$

Этап 1.1.7.6

Перенесем $- 5$ влево от $B$ .

$x - 8 = A x - 2 A + B x - 5 B$

Этап 1.1.8

Перенесем $- 2 A$ .

$x - 8 = A x + B x - 2 A - 5 B$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 8 = - 2 A - 5 B$

Этап 1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$- 8 = - 2 A - 5 B$

$1 = A + B$

$- 8 = - 2 A - 5 B$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 8 = - 2 A - 5 B$

Этап 1.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$- 8 = - 2 A - 5 B$

$A = 1 - B$

$- 8 = - 2 A - 5 B$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $- 8 = - 2 A - 5 B$ на $1 - B$ .

$- 8 = - 2 (1 - B) - 5 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим $- 2 (1 - B) - 5 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 8 = - 2 \cdot 1 - 2 (- B) - 5 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 8 = - 2 - 2 (- B) - 5 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 8 = - 2 + 2 B - 5 B$

$A = 1 - B$

$- 8 = - 2 + 2 B - 5 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.2

Вычтем $5 B$ из $2 B$ .

$- 8 = - 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

$- 8 = - 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

$- 8 = - 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

$- 8 = - 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3

Решим относительно $B$ в $- 8 = - 2 - 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 - 3 B = - 8$ .

$- 2 - 3 B = - 8$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$- 3 B = - 8 + 2$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.2.2

Добавим $- 8$ и $2$ .

$- 3 B = - 6$

$A = 1 - B$

$- 3 B = - 6$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3

Разделим каждый член $- 3 B = - 6$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Разделим каждый член $- 3 B = - 6$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 6}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 6}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 6}{- 3}$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.3.1

Разделим $- 6$ на $- 3$ .

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $2$ .

$A = 1 - (2)$

$B = 2$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим $1 - (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$A = 1 - 2$

$B = 2$

Этап 1.3.4.2.1.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$A = - 1, B = 2$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x - 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- 1}{x - 5} + \frac{2}{x - 2}$

Этап 1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{0}^{1} - \frac{1}{x - 5} + \frac{2}{x - 2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} - \frac{1}{x - 5} d x + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 5} d x + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

Этап 4

Пусть $u_{1} = x - 5$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = x - 5$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x - 5$ .

$u_{lower} = 0 - 5$

Этап 4.3

Вычтем $5$ из $0$ .

$u_{lower} = - 5$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x - 5$ .

$u_{upper} = 1 - 5$

Этап 4.5

Вычтем $5$ из $1$ .

$u_{upper} = - 4$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 5$

$u_{upper} = - 4$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$- \int_{- 5}^{- 4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 5}^{- 4}) + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 5}^{- 4}) + 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x$

Этап 7

Пусть $u_{2} = x - 2$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{2} = x - 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 7.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 7.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = x - 2$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

Этап 7.3

Вычтем $2$ из $0$ .

$u_{lower} = - 2$

Этап 7.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = x - 2$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Этап 7.5

Вычтем $2$ из $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Этап 7.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Этап 7.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 5}^{- 4}) + 2 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 5}^{- 4}) + 2 (\ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\ln (| u_{1} |)$ в $- 4$ и в $- 5$ .

$- ((\ln (| - 4 |)) - \ln (| - 5 |)) + 2 (\ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1})$

Этап 9.2

Найдем значение $\ln (| u_{2} |)$ в $- 1$ и в $- 2$ .

$- ((\ln (| - 4 |)) - \ln (| - 5 |)) + 2 ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

Этап 9.3

Избавимся от скобок.

$- (\ln (| - 4 |) - \ln (| - 5 |)) + 2 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| - 4 |}{| - 5 |}) + 2 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Этап 10.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| - 4 |}{| - 5 |}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 4$ и $0$ равно $4$ .

$- \ln (\frac{4}{| - 5 |}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Этап 11.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 5$ и $0$ равно $5$ .

$- \ln (\frac{4}{5}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Этап 11.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$- \ln (\frac{4}{5}) + 2 \ln (\frac{1}{| - 2 |})$

Этап 11.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$- \ln (\frac{4}{5}) + 2 \ln (\frac{1}{2})$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \ln (\frac{4}{5}) + 2 \ln (\frac{1}{2})$

Десятичная форма:

$- 1.16315080 \dots$

Этап 13