Математический анализ Примеры

\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t

$\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t$

Этап 1

Пусть

u = 1 + \cos (t)

$u = 1 + \cos (t)$ . Тогда

d u = - \sin (t) d t

$d u = - \sin (t) d t$ , следовательно

- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t

$- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя

u

$u$ и

d

$d$

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть

u = 1 + \cos (t)

$u = 1 + \cos (t)$ . Найдем

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем

1 + \cos (t)

$1 + \cos (t)$ .

\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная

1 + \cos (t)

$1 + \cos (t)$ по

t

$t$ имеет вид

\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку

1

$1$ является константой относительно

t

$t$ , производная

1

$1$ относительно

t

$t$ равна

0

$0$ .

0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Этап 1.1.3

Производная

\cos (t)

$\cos (t)$ по

t

$t$ равна

- \sin (t)

$- \sin (t)$ .

0 - \sin (t)

$0 - \sin (t)$

Этап 1.1.4

Вычтем

\sin (t)

$\sin (t)$ из

0

$0$ .

- \sin (t)

$- \sin (t)$

- \sin (t)

$- \sin (t)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью

u

$u$ и

d u

$d u$ .

\int - 1 \sqrt{u} d u

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

\int - 1 \sqrt{u} d u

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

Этап 2

Поскольку

- 1

$- 1$ — константа по отношению к

u

$u$ , вынесем

- 1

$- 1$ из-под знака интеграла.

- \int \sqrt{u} d u

$- \int \sqrt{u} d u$

Этап 3

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ в виде

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ .

- \int u^{\frac{1}{2}} d u

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ по

u

$u$ имеет вид

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 5

Перепишем

- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде

- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения

u

$u$ на

1 + \cos (t)

$1 + \cos (t)$ .

- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C

$- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C$

\int_{}^{} \sin (t) \sqrt[]{1 + \cos (t)} d t

$\int_{}^{} \sin (t) \sqrt[]{1 + \cos (t)} d t$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





∫

∫













7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<





∞

∞





!

!



,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$