Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{5}}}}{x^{6}} d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{1}{x^{5}}$ . Тогда $d u = - \frac{5}{x^{6}} d x$ , следовательно $1 d u = - \frac{5}{x^{6}} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{1}{x^{5}}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Этап 1.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{5}}$ в виде ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Этап 1.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

Этап 1.1.2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 5$ .

$- 5 x^{- 6}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{6}}$

Этап 1.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{- 5}{x^{6}}$

Этап 1.1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{x^{6}}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{1}{x^{5}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1^{5}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Этап 1.3.2

Разделим $1$ на $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{1}{x^{5}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2^{5}}$

Этап 1.5

Возведем $2$ в степень $5$ .

$u_{upper} = \frac{1}{32}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{32}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{\frac{1}{32}} - \frac{1}{5} e^{u} d u$

Этап 2

Поскольку $- \frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- \frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{5} \int_{1}^{\frac{1}{32}} e^{u} d u$

Этап 3

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{1}{5} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{32}}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $e^{u}$ в $\frac{1}{32}$ и в $1$ .

$- \frac{1}{5} ((e^{\frac{1}{32}}) - e^{1})$

Этап 4.2

Упростим.

$- \frac{1}{5} (e^{\frac{1}{32}} - e)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{5} e^{\frac{1}{32}} - \frac{1}{5} (- e)$

Этап 5.2

Объединим $e^{\frac{1}{32}}$ и $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} - \frac{1}{5} (- e)$

Этап 5.3

Умножим $- \frac{1}{5} (- e)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} + 1 (\frac{1}{5}) e$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} + \frac{1}{5} e$

Этап 5.3.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $e$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} + \frac{e}{5}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} + \frac{e}{5}$

Десятичная форма:

$0.33730768 \dots$

Этап 7