Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{9 x^{2} + 16} d x$

Этап 1

Изменим порядок $9 x^{2}$ и $16$ .

$\int \frac{1}{16 + 9 x^{2}} d x$

Этап 2

Вынесем множитель $9$ из $16 + 9 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $9$ из $16$ .

$\int \frac{1}{9 (\frac{16}{9}) + 9 x^{2}} d x$

Этап 2.2

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2}$ .

$\int \frac{1}{9 (\frac{16}{9}) + 9 (x^{2})} d x$

Этап 2.3

Вынесем множитель $9$ из $9 (\frac{16}{9}) + 9 (x^{2})$ .

$\int \frac{1}{9 (\frac{16}{9} + x^{2})} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{16}{9} + x^{2}} d x$

Этап 4

Перепишем $\frac{16}{9}$ в виде ${(\frac{4}{3})}^{2}$ .

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{4}{3})}^{2} + x^{2}} d x$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{{(\frac{4}{3})}^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{\frac{4}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{4}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C)$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{9} (1 (\frac{3}{4}) \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C)$

Этап 6.1.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C)$

Этап 6.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (x \frac{3}{4}) + C)$

Этап 6.1.4

Объединим $x$ и $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (\frac{x \cdot 3}{4}) + C)$

Этап 6.1.5

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (\frac{3 \cdot x}{4}) + C)$

Этап 6.1.6

Объединим $\frac{3}{4}$ и $\arctan (\frac{3 x}{4})$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{4})}{4} + C)$

Этап 6.2

Перепишем $\frac{1}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{4})}{4} + C)$ в виде $\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{4} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{4} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{9 \cdot 4} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Этап 6.3.2

Умножим $9$ на $4$ .

$\frac{3}{36} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Этап 6.3.3

Сократим общий множитель $3$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (1)}{36} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Этап 6.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $36$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Этап 6.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Этап 6.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{12} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$