Математический анализ Примеры

$\int e^{5 x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 5 x$ . Тогда $d u = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Этап 2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u}}{5} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int e^{u} d u$

Этап 4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u} + C)$

Этап 5

Упростим.

$\frac{1}{5} e^{u} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{5 x} + C$