Математический анализ Примеры

\frac{x}{x^{2} + 1}

$\frac{x}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где

f (x) = x

$f (x) = x$ и

g (x) = x^{2} + 1

$g (x) = x^{2} + 1$ .

\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Умножим

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ на

1

$1$ .

\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 2

$n = 2$ .

\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку

1

$1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

1

$1$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим

2 x

$2 x$ и

0

$0$ .

\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Умножим

2

$2$ на

- 1

$- 1$ .

\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3

Возведем

x

$x$ в степень

1

$1$ .

\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4

Возведем

x

$x$ в степень

1

$1$ .

\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 6

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 7

Вычтем

2 x^{2}

$2 x^{2}$ из

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$