Математический анализ Примеры

$\int \sin (2 x) d x$

Step 1

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Step 2

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Step 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Step 4

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Step 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим.

$\frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (u)$ .

$- \frac{\cos (u)}{2} + C$

Step 6

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

Step 7

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$