Математический анализ Примеры

\int e^{3 x} d x

$\int e^{3 x} d x$

Этап 1

Пусть

u = 3 x

$u = 3 x$ . Тогда

d u = 3 d x

$d u = 3 d x$ , следовательно

\frac{1}{3} d u = d x

$\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя

u

$u$ и

d

$d$

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть

u = 3 x

$u = 3 x$ . Найдем

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем

3 x

$3 x$ .

\frac{d}{d x} [3 x]

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку

3

$3$ является константой относительно

x

$x$ , производная

3 x

$3 x$ по

x

$x$ равна

3 \frac{d}{d x} [x]

$3 \frac{d}{d x} [x]$ .

3 \frac{d}{d x} [x]

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

3 \cdot 1

$3 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим

3

$3$ на

1

$1$ .

3

$3$

3

$3$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью

u

$u$ и

d u

$d u$ .

\int e^{u} \frac{1}{3} d u

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u$

\int e^{u} \frac{1}{3} d u

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 2

Объединим

e^{u}

$e^{u}$ и

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\int \frac{e^{u}}{3} d u

$\int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 3

Поскольку

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ — константа по отношению к

u

$u$ , вынесем

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

\frac{1}{3} \int e^{u} d u

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Этап 4

Интеграл

e^{u}

$e^{u}$ по

u

$u$ имеет вид

e^{u}

$e^{u}$ .

\frac{1}{3} (e^{u} + C)

$\frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Этап 5

Упростим.

\frac{1}{3} e^{u} + C

$\frac{1}{3} e^{u} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения

u

$u$ на

3 x

$3 x$ .

\frac{1}{3} e^{3 x} + C

$\frac{1}{3} e^{3 x} + C$

$\int_{}^{} e^{3 x}$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





∫

∫













7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<





∞

∞





!

!



,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$