Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 + 7 x$ . Тогда $d u = 7 d x$ , следовательно $\frac{1}{7} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + 7 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + 7 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $7$ на $1$ .

$0 + 7$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $7$ .

$7$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + 7 x$ .

$u_{lower} = 1 + 7 \cdot 0$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $7$ на $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + 7 x$ .

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $7$ на $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $7$ .

$u_{upper} = 8$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

Этап 2

Объединим $\sqrt[3]{u}$ и $\frac{1}{7}$ .

$\int_{1}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ в $8$ и в $1$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.2.4

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.2.5

Объединим $\frac{3}{4}$ и $16$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.2.6

Умножим $3$ на $16$ .

$\frac{1}{7} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.2.7

Сократим общий множитель $48$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Вынесем множитель $4$ из $48$ .

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.2.7.2.4

Разделим $12$ на $1$ .

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.2.8

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Этап 6.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4})$

Этап 6.2.10

Чтобы записать $12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{7} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

Этап 6.2.11

Объединим $12$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

Этап 6.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{12 \cdot 4 - 3}{4}$

Этап 6.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.1

Умножим $12$ на $4$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{48 - 3}{4}$

Этап 6.2.13.2

Вычтем $3$ из $48$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

Этап 6.2.14

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{45}{4}$ .

$\frac{45}{7 \cdot 4}$

Этап 6.2.15

Умножим $7$ на $4$ .

$\frac{45}{28}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{45}{28}$

Десятичная форма:

$1.60714285 \dots$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{17}{28}$

Этап 8