Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 \sin (x) \cos (x)$ , $[\frac{π}{4}, π]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \sin (x) \cos (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.1.1.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.1.1.4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$3 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.1.1.5

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$3 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.1.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.1.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.1.1.8

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Этап 1.1.1.9

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Этап 1.1.1.10

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Этап 1.1.1.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Этап 1.1.1.12

Добавим $1$ и $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Этап 1.1.1.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$

Этап 1.1.1.13.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 1.2.2

Разложим $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 \cos^{2} (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 1.2.2.2

Изменим порядок $- \sin^{2} (x)$ и $\cos^{2} (x)$ .

$3 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 1.2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (x)$ и $b = \sin (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

Этап 1.2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $\cos (x) + \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $\cos (x) + \sin (x)$ к $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $\cos (x) + \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.4.2.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.4.2.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.4.2.4

Разделим дроби.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 1.2.4.2.5

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 1.2.4.2.6

Разделим $0$ на $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 1.2.4.2.7

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Этап 1.2.4.2.8

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) = - 1$

Этап 1.2.4.2.9

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 1.2.4.2.10

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.10.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.4.2.11

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 1.2.4.2.12

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.12.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 1.2.4.2.12.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 1.2.4.2.13

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.13.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 1.2.4.2.13.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 1.2.4.2.13.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 1.2.4.2.13.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 1.2.4.2.14

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.14.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 1.2.4.2.14.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.4.2.14.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.14.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.4.2.14.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 1.2.4.2.14.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.14.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 1.2.4.2.14.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 1.2.4.2.14.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 1.2.4.2.15

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.5

Приравняем $\cos (x) - \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $\cos (x) - \sin (x)$ к $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $\cos (x) - \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.5.2.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.5.2.3

Разделим дроби.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.5.2.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.5.2.5

Разделим $- 1$ на $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.5.2.6

Разделим дроби.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 1.2.5.2.7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 1.2.5.2.8

Разделим $0$ на $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 1.2.5.2.9

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Этап 1.2.5.2.10

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (x) = - 1$

Этап 1.2.5.2.11

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.11.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.11.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.11.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.11.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Этап 1.2.5.2.12

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 1.2.5.2.13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.13.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 1.2.5.2.14

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 1.2.5.2.15

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.15.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 1.2.5.2.15.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.15.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 1.2.5.2.15.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 1.2.5.2.15.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.15.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 1.2.5.2.15.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 1.2.5.2.16

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.16.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 1.2.5.2.16.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 1.2.5.2.16.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 1.2.5.2.16.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 1.2.5.2.17

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ верно.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.7

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $3 \sin (x) \cos (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $\frac{π}{4}$ вместо $x$ .

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.1.2.2

Объединим $3$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.1.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Умножим $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.2.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.2.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.2.4.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 1.4.1.2.5

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Этап 1.4.1.2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Этап 1.4.1.2.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 1.4.1.2.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 1.4.1.2.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

Этап 1.4.1.2.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3 \cdot 2}{4}$

Этап 1.4.1.2.6

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{4}$

Этап 1.4.1.2.7

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (3)}{4}$

Этап 1.4.1.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2}$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $\frac{3 π}{4}$ вместо $x$ .

$3 \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 1.4.2.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 1.4.2.2.3

Объединим $3$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 1.4.2.2.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Этап 1.4.2.2.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 1.4.2.2.6

Умножим $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.6.1

Умножим $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.2.2.6.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.2.2.6.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.2.2.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.2.2.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.2.2.6.6

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 1.4.2.2.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Этап 1.4.2.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Этап 1.4.2.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 1.4.2.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 1.4.2.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

Этап 1.4.2.2.7.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{3 \cdot 2}{4}$

Этап 1.4.2.2.8

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{6}{4}$

Этап 1.4.2.2.9

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.9.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{2 (3)}{4}$

Этап 1.4.2.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.2.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.2.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{2}$

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{3}{2}), (\frac{3 π}{4} + π n, - \frac{3}{2})$ , для любого целого $n$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

$(\frac{π}{4}, \frac{3}{2}), (\frac{3 π}{4}, - \frac{3}{2})$

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $\frac{π}{4}$ вместо $x$ .

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Этап 3.1.2.2

Объединим $3$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Этап 3.1.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.1.2.4

Умножим $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Умножим $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.2.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.2.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.2.4.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 3.1.2.5

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Этап 3.1.2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Этап 3.1.2.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 3.1.2.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 3.1.2.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

Этап 3.1.2.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3 \cdot 2}{4}$

Этап 3.1.2.6

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{4}$

Этап 3.1.2.7

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (3)}{4}$

Этап 3.1.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2}$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $π$ вместо $x$ .

$3 \sin (π) \cos (π)$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$3 \sin (0) \cos (π)$

Этап 3.2.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$3 \cdot 0 \cos (π)$

Этап 3.2.2.3

Умножим $3$ на $0$ .

$0 \cos (π)$

Этап 3.2.2.4

$0 (- \cos (0))$

Этап 3.2.2.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1)$

Этап 3.2.2.6

Умножим $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 \cdot - 1$

Этап 3.2.2.6.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{4}, \frac{3}{2}), (π, 0)$

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(\frac{π}{4}, \frac{3}{2})$

Абсолютный минимум: $(\frac{3 π}{4}, - \frac{3}{2})$

Этап 5