Математический анализ Примеры

$f (x) = - x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{2}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $8$ .

$- 3 x^{2} + 16 x + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15 x$ по $x$ равна $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $- 15$ на $1$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} + 16 x - 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 15)$

Этап 2.3.3

Умножим $16$ на $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16 + \frac{d}{d x} (- 15)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 6 x + 16$ и $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $- x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{2}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $8$ .

$- 3 x^{2} + 16 x + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15 x$ по $x$ равна $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \cdot 1$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 15$ на $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 16 x - 15$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} + 16 x - 15$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} + 16 x - 15 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 = 0$

Этап 5.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.3

Подставим значения $a = - 3$ , $b = 16$ и $c = - 15$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 15)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 3 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 12 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.4.1.2.2

Умножим $12$ на $- 15$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 180}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.4.1.3

Вычтем $180$ из $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.4.1.4

Перепишем $76$ в виде $2^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $76$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$

Этап 5.4.3

Упростим $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{3}$

Этап 5.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 3 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 12 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $12$ на $- 15$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 180}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.5.1.3

Вычтем $180$ из $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.5.1.4

Перепишем $76$ в виде $2^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $76$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.5.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$

Этап 5.5.3

Упростим $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{3}$

Этап 5.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 5.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 3 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 12 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.6.1.2.2

Умножим $12$ на $- 15$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 180}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.6.1.3

Вычтем $180$ из $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.6.1.4

Перепишем $76$ в виде $2^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $76$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$

Этап 5.6.3

Упростим $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{3}$

Этап 5.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 5.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}, \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}, \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 \frac{8 + \sqrt{19}}{3} + 16$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{8 + \sqrt{19}}{3} + 16$

Этап 9.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 2 \frac{8 + \sqrt{19}}{3} + 16$

Этап 9.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- 2 (8 + \sqrt{19}) + 16$

Этап 9.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 8 - 2 \sqrt{19} + 16$

Этап 9.1.3

Умножим $- 2$ на $8$ .

$- 16 - 2 \sqrt{19} + 16$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $- 16$ и $16$ .

$0 - 2 \sqrt{19}$

Этап 9.2.2

Вычтем $2 \sqrt{19}$ из $0$ .

$- 2 \sqrt{19}$

Этап 10

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{3} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 + \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 + \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8^{3} + 3 \cdot (8^{2} \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (8^{2} \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.4.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (64 \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.4.3

Умножим $3$ на $64$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.4.4

Умножим $3$ на $8$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 {\sqrt{19}}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.4.5

Перепишем ${\sqrt{19}}^{2}$ в виде $19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{19}$ в виде $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.4.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.4.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.4.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.4.6

Умножим $24$ на $19$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.4.7

Перепишем ${\sqrt{19}}^{3}$ в виде $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{19^{3}}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.4.8

Возведем $19$ в степень $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{6859}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.4.9

Перепишем $6859$ в виде $19^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.9.1

Вынесем множитель $361$ из $6859$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{361 (19)}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.4.9.2

Перепишем $361$ в виде $19^{2}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.4.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.5

Добавим $512$ и $456$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 192 \sqrt{19} + 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.6

Добавим $192 \sqrt{19}$ и $19 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.7

Применим правило умножения к $\frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 + \sqrt{19})}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.9

Перепишем ${(8 + \sqrt{19})}^{2}$ в виде $(8 + \sqrt{19}) (8 + \sqrt{19})$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{(8 + \sqrt{19}) (8 + \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.10

Развернем $(8 + \sqrt{19}) (8 + \sqrt{19})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 (8 + \sqrt{19}) + \sqrt{19} (8 + \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} (8 + \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 8 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.11.1.1

Умножим $8$ на $8$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 8 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.11.1.2

Перенесем $8$ влево от $\sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \cdot \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.11.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19 \cdot 19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.11.1.4

Умножим $19$ на $19$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + \sqrt{361}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.11.1.5

Перепишем $361$ в виде $19^{2}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19^{2}}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.11.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + 19}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.11.2

Добавим $64$ и $19$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.11.3

Добавим $8 \sqrt{19}$ и $8 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 + 16 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.12

Объединим $8$ и $\frac{83 + 16 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 11.2.1.13

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.13.1

Вынесем множитель $3$ из $- 15$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} + 3 (- 5) (\frac{8 + \sqrt{19}}{3})$

Этап 11.2.1.13.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (- 5 \frac{8 + \sqrt{19}}{3})$

Этап 11.2.1.13.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 5 (8 + \sqrt{19})$

Этап 11.2.1.14

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 5 \cdot 8 - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.1.15

Умножим $- 5$ на $8$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $\frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $\frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $9$ на $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (968 + 211 \sqrt{19}) + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 968 - (211 \sqrt{19}) + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.5.2

Умножим $- 1$ на $968$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - (211 \sqrt{19}) + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.5.3

Умножим $211$ на $- 1$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + (8 \cdot 83 + 8 (16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.5.5

Умножим $8$ на $83$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + (664 + 8 (16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.5.6

Умножим $16$ на $8$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + (664 + 128 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 664 \cdot 3 + 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.5.8

Умножим $664$ на $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 1992 + 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.5.9

Умножим $3$ на $128$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 1992 + 384 \sqrt{19}}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.5.10

Добавим $- 968$ и $1992$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 211 \sqrt{19} + 384 \sqrt{19}}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.5.11

Добавим $- 211 \sqrt{19}$ и $384 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19}}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.6

Чтобы записать $- 40$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19}}{27} - 40 \cdot \frac{27}{27} - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.7

Объединим $- 40$ и $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 40 \cdot 27}{27} - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19} - 40 \cdot 27}{27} - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.8.2

Умножим $- 40$ на $27$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19} - 1080}{27} - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.8.3

Вычтем $1080$ из $1024$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19}}{27} - 5 \sqrt{19}$

Этап 11.2.9

Чтобы записать $- 5 \sqrt{19}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19}}{27} - 5 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 11.2.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.10.1

Объединим $- 5 \sqrt{19}$ и $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.10.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19} - 5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.11.1

Умножим $27$ на $- 5$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19} - 135 \sqrt{19}}{27}$

Этап 11.2.11.2

Вычтем $135 \sqrt{19}$ из $173 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Этап 11.2.12

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.12.1

Перепишем $- 56$ в виде $- 1 (56)$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Этап 11.2.12.2

Вынесем множитель $- 1$ из $38 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 - (- 38 \sqrt{19})}{27}$

Этап 11.2.12.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (56) - (- 38 \sqrt{19})$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (56 - 38 \sqrt{19})}{27}$

Этап 11.2.12.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Этап 11.2.13

Окончательный ответ: $- \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = - \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 \frac{8 - \sqrt{19}}{3} + 16$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{8 - \sqrt{19}}{3} + 16$

Этап 13.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 2 \frac{8 - \sqrt{19}}{3} + 16$

Этап 13.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- 2 (8 - \sqrt{19}) + 16$

Этап 13.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 8 - 2 (- \sqrt{19}) + 16$

Этап 13.1.3

Умножим $- 2$ на $8$ .

$- 16 - 2 (- \sqrt{19}) + 16$

Этап 13.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 16 + 2 \sqrt{19} + 16$

Этап 13.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $- 16$ и $16$ .

$0 + 2 \sqrt{19}$

Этап 13.2.2

Добавим $0$ и $2 \sqrt{19}$ .

$2 \sqrt{19}$

Этап 14

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{3} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 - \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 - \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8^{3} + 3 \cdot (8^{2} (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (8^{2} (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (64 (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.3

Умножим $3$ на $64$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.4

Умножим $- 1$ на $192$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.5

Умножим $3$ на $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 {(- \sqrt{19})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.6

Применим правило умножения к $- \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 (1 {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.8

Умножим ${\sqrt{19}}^{2}$ на $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 {\sqrt{19}}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.9

Перепишем ${\sqrt{19}}^{2}$ в виде $19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{19}$ в виде $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.9.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.9.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.9.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.10

Умножим $24$ на $19$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.11

Применим правило умножения к $- \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.13

Перепишем ${\sqrt{19}}^{3}$ в виде $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{19^{3}}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.14

Возведем $19$ в степень $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{6859}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.15

Перепишем $6859$ в виде $19^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.15.1

Вынесем множитель $361$ из $6859$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{361 (19)}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.15.2

Перепишем $361$ в виде $19^{2}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - (19 \sqrt{19})}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.4.17

Умножим $19$ на $- 1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.5

Добавим $512$ и $456$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 192 \sqrt{19} - 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.6

Вычтем $19 \sqrt{19}$ из $- 192 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.7

Применим правило умножения к $\frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 - \sqrt{19})}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.9

Перепишем ${(8 - \sqrt{19})}^{2}$ в виде $(8 - \sqrt{19}) (8 - \sqrt{19})$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{(8 - \sqrt{19}) (8 - \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.10

Развернем $(8 - \sqrt{19}) (8 - \sqrt{19})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 (8 - \sqrt{19}) - \sqrt{19} (8 - \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} (8 - \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 8 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.11.1.1

Умножим $8$ на $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 8 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.11.1.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - \sqrt{19} \cdot 8 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.11.1.3

Умножим $8$ на $- 1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.11.1.4

Умножим $- \sqrt{19} (- \sqrt{19})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.11.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 1 \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.11.1.4.2

Умножим $\sqrt{19}$ на $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.11.1.4.3

Возведем $\sqrt{19}$ в степень $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.11.1.4.4

Возведем $\sqrt{19}$ в степень $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.11.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.11.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.11.1.5

Перепишем ${\sqrt{19}}^{2}$ в виде $19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.11.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{19}$ в виде $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.11.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.11.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.11.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.11.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.11.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.11.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.11.2

Добавим $64$ и $19$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.11.3

Вычтем $8 \sqrt{19}$ из $- 8 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 - 16 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.12

Объединим $8$ и $\frac{83 - 16 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 15.2.1.13

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.13.1

Вынесем множитель $3$ из $- 15$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} + 3 (- 5) (\frac{8 - \sqrt{19}}{3})$

Этап 15.2.1.13.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (- 5 \frac{8 - \sqrt{19}}{3})$

Этап 15.2.1.13.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 5 (8 - \sqrt{19})$

Этап 15.2.1.14

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 5 \cdot 8 - 5 (- \sqrt{19})$

Этап 15.2.1.15

Умножим $- 5$ на $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 40 - 5 (- \sqrt{19})$

Этап 15.2.1.16

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.2

Чтобы записать $\frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Умножим $\frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.3.2

Умножим $9$ на $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (968 - 211 \sqrt{19}) + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 968 - (- 211 \sqrt{19}) + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.5.2

Умножим $- 1$ на $968$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - (- 211 \sqrt{19}) + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.5.3

Умножим $- 211$ на $- 1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + (8 \cdot 83 + 8 (- 16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.5.5

Умножим $8$ на $83$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + (664 + 8 (- 16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.5.6

Умножим $- 16$ на $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + (664 - 128 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 664 \cdot 3 - 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.5.8

Умножим $664$ на $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 1992 - 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.5.9

Умножим $3$ на $- 128$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 1992 - 384 \sqrt{19}}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.5.10

Добавим $- 968$ и $1992$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 211 \sqrt{19} - 384 \sqrt{19}}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.5.11

Вычтем $384 \sqrt{19}$ из $211 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19}}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.6

Чтобы записать $- 40$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19}}{27} - 40 \cdot \frac{27}{27} + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.7

Объединим $- 40$ и $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 40 \cdot 27}{27} + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19} - 40 \cdot 27}{27} + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.8.2

Умножим $- 40$ на $27$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19} - 1080}{27} + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.8.3

Вычтем $1080$ из $1024$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19}}{27} + 5 \sqrt{19}$

Этап 15.2.9

Чтобы записать $5 \sqrt{19}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19}}{27} + 5 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 15.2.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.10.1

Объединим $5 \sqrt{19}$ и $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

Этап 15.2.10.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19} + 5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

Этап 15.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.11.1

Умножим $27$ на $5$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19} + 135 \sqrt{19}}{27}$

Этап 15.2.11.2

Добавим $- 173 \sqrt{19}$ и $135 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Этап 15.2.12

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.12.1

Перепишем $- 56$ в виде $- 1 (56)$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Этап 15.2.12.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 38 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 - (38 \sqrt{19})}{27}$

Этап 15.2.12.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (56) - (38 \sqrt{19})$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (56 + 38 \sqrt{19})}{27}$

Этап 15.2.12.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Этап 15.2.13

Окончательный ответ: $- \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = - \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = - x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$ .

$(\frac{8 + \sqrt{19}}{3}, - \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27})$ — локальный максимум

$(\frac{8 - \sqrt{19}}{3}, - \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27})$ — локальный минимум

Этап 17