Математический анализ Примеры

$f (x) = - \frac{1}{x}$ , $- 2 \leq x \leq - 1$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.1.2.3.2

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.1.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Этап 1.1.1.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.5.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Этап 1.1.1.2.5.2

Добавим $x^{- 2}$ и $0$ .

$x^{- 2}$

Этап 1.1.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 1.2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 1.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 1.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 1.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.4

Вычислим $- \frac{1}{x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$- \frac{1}{0}$

Этап 1.4.1.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 1.5

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$- \frac{1}{- 2}$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{1}{2}$

Этап 2.1.2.2

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Этап 2.1.2.2.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$- \frac{1}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$- - 1$

Этап 2.2.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 2, \frac{1}{2}), (- 1, 1)$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(- 1, 1)$

Абсолютный минимум: $(- 2, \frac{1}{2})$

Этап 4